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Séminaire Théorie des Nombres


Organisateurs : Richard GRIFFON
Les exposés ont lieu le mardi à 10h30 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Novembre 2021


  • Mardi 30 novembre 2021 - Séverin Philip (UGA, Grenoble)

    Degré de semi-stabilité pour les variétés abéliennes

    Pour une variété abélienne \(A\) sur un corps de nombres il existe une borne classique en fonction de la dimension de \(A\) au degré minimal \(d(A)\) d'une extension où \(A\) atteint réduction semi-stable. Après les avoir défini, on montre comment les groupes de monodromie finie (étudiés par Silverberg et Zarhin) permettent le calcul de \(d(A)\). Ensuite avec un lemme d'approximation faible «à extension finie près» et une étude d'un espace de module de variétés abéliennes on obtient un résultat de type principe local-global pour les groupes de monodromie finie qui, avec une construction utilisant des variétés abéliennes CM, donne un encadrement du maximum des \(d(A)\), pour \(A\) de dimension fixée, presque optimal et améliorant la borne classique.

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  • Mercredi 17 novembre 2021 - Harry Schmidt (Universität Basel)

    Poly-log counting and the André-Oort conjecture

    In recent work with Binyamini and Yafaev we showed how to use the counting theorem of Binyamini to replace the use of the isogeny estimates of Masser and Wüstholz in the context of the André-Oort conjecture. This reduced the full conjecture to a height bound that was announced this year by Pila, Shankar, Tsimerman et al..
    I will explain the main idea of our work and discuss other applications.

    NB: séance exceptionnelle le mercredi 17 novembre à 10h30, en salle 218.

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  • Mardi 16 novembre 2021 - Gauthier Leterrier (EPFL, Lausanne)

    Réseaux de Mordell–Weil en caractéristique 3 et empilements de sphères

    L'étude du groupe de points rationnels d'une courbe elliptique est souvent un problème délicat. Ici, on s'intéresse aux courbes elliptiques \( y^2 = x^3 + b x + t^{3^n + 1} \) sur le corps de fonctions \(\mathbb{F}_{3^{2n}}(t) \). On montrera comment calculer explicitement leur fonction \(L\), et en particulier à connaître le rang de leur groupe de points rationnels.

    On pourra ensuite, via la hauteur de Néron–Tate, considérer le réseau associé à ces courbes et étudier la proportion de l'espace euclidien recouverte par des boules centrées en les points de ce réseau (et qui sont deux-à-deux disjointes, de même rayon). Pour \(n = 3, 4, 5\), on expliquera qu'on obtient ainsi les meilleurs empilements de sphères connus à ce jour.

    Remarque: l'exposé aura exceptionnellement lieu en salle 102.

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  • Mardi 09 novembre 2021 - Alexandre Bailleul (ENS Paris Saclay)

    Quelques facettes des courses de nombres premiers

    Les courses de nombres premiers constituent un objet d'étude relativement récent. L'observation de départ de Tchebychev en 1853 était qu'il semblait y avoir toujours plus de nombres premiers congrus à \(3 \mod 4\) que de nombres premiers congrus à \(1 \mod 4\) (bien que leurs quantités sous une borne \(x\) soient équivalentes quand \(x\) tend vers l'infini). Ce phénomène, appelé biais de Tchebychev, n'a été expliqué pour la première fois qu'en 1994 par Rubinstein et Sarnak. Leur méthode, qui repose sur plusieurs conjectures inaccessibles à l'heure actuelle, a été adaptée à divers contextes (corps de nombres, polynômes irréductibles sur des corps finis, corps de fonctions de courbes sur un corps fini). Dans cet exposé, j'expliquerai cette méthode et je parlerai de résultats récents et de perspectives dans l'étude des courses de nombres premiers dans ces différents contextes.

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Octobre 2021


  • Mardi 26 octobre 2021 - Nirvana Coppola (VU Amsterdam)

    Hyperelliptic curves and Galois representations

    The arithmetic of hyperelliptic curves over local fields is an active topic of research in algebraic number theory and arithmetic geometry. In this talk, I will focus on curves defined over a \(p\)-adic field with potentially good reduction, which acquire good reduction over a wildly ramified "large" extension of the field of definition, and I will explicitly compute the associated \(\ell\)-adic Galois representation.

    Remarque: l'exposé aura lieu en visioconférence à 10h30, en salle 114 et en simultané sur Teams.

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  • Mercredi 20 octobre 2021 - Jaclyn Lang (Temple University, Philadelphia)

    A modular construction of unramified \(p\)-extensions of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\)

    In Mazur's seminal work on the Eisenstein ideal, he showed that when \(N\) and \(p > 3\) are primes, there is a weight 2 cusp form of level \(N\) congruent to the unique weight 2 Eisenstein series of level \(N\) if and only \(N = 1 \bmod p\). Calegari--Emerton, Merel, Lecouturier, and Wake--Wang-Erickson have work that relates these cuspidal-Eisenstein congruences to the \(p\)-part of the class group of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\). Calegari observed that when \(N = -1 \bmod p\), one can use Galois cohomology and some ideas of Wake--Wang-Erickson to show that \(p\) divides the class number of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\). He asked whether there is a way to directly construct the relevant degree \(p\) everywhere unramified extension of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\) in this case. After discussing some of this background, I will report of work with Preston Wake in which we give a positive answer to this question using cuspidal-Eisenstein congruences at prime-square level.
    Remarque: l'exposé aura lieu en visioconférence à 16h00, en salle 114 et en simultané sur Teams.

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Septembre 2021


  • Mardi 21 septembre 2021 - Pip Goodman (UCA, Clermont-Ferrand)

    Des courbes superelliptiques avec des grosses images de Galois

    En 1972, Serre a démontré son théorème célèbre de "l'image ouverte" qui concerne les courbes elliptiques sans multiplications complexes. Depuis, les travaux se sont focalisés sur des variétés abéliennes de dimension plus grande avec un anneau d'endomorphismes trivial. Ces résultats sont parfois explicites, parfois pas. Dans cet exposé, on donne une condition explicite pour qu'une jacobienne superelliptique ait une 'image grande'. En le faisant on découvre que ces images ont une forme inattendue.

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