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Séminaire EDPAN


Organisateurs : Nicolae Cindea
Les exposés ont lieu le jeudi à 11h15 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Avril 2020


  • Jeudi 09 avril 2020 - Aziz Belmiloudi

    Système non linéaire avec retards dans le cadre de la modélisation (directe et inverse) de l'électrophysiologie cardiaque

    L'évaluation de l'activité bioélectrique dans le cœur est un processus multi-échelle très complexe qui utilise différents mécanismes phénoménologiques, et est sujet à diverses perturbations, ainsi qu'à des variations physiologiques et physiopathologiques. De plus, les retards temporels dans la transmission des signaux sont inévitables, mais non pris en compte dans les modèles classiques. Pourtant, un léger retard peut affecter considérablement l'activité électrique résultante et donner lieu à des comportements très complexes, notamment des oscillations et ainsi affecter, par exemple, le traitement des troubles cardiaques. Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats concernant la modélisation mathématique de la propagation des ondes électrophysiologiques dans le cœur en tenant compte des retards dans la transmission et de l’incertitude sur les données.

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Février 2020


  • Jeudi 20 février 2020 - Dorian Le Peutrec

    Asymptotiques spectrales précises pour des diffusions métastables non réversibles (Travail en collaboration avec Laurent Michel)

    Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie \(d X_t = -U(X_t) dt + \sqrt{2h} d B_t\) dans la limite \(h\to 0\) lorsque \(U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière \(V:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\), la dynamique est invariante par rapport à \(e^{-\frac Vh}\).

    Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d \(L = -h \Delta + U \cdot \nabla\), et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime \(h\to 0\).

    En particulier, lorsque la fonction \(V\) est une fonction de Morse admettant \(n\) minima locaux, nous montrerons que pour un certain \(\epsilon > 0\), le spectre de \(L\) inclus dans la bande \(0 \leq \{\mathop{Re}(z) < \epsilon\}\) consiste en \(n\) valeurs propres exponentiellement petites.

    Enfin, sous des hypothèses génériques sur les barrières de potentiel de la fonction \(V\), nous montrerons que ces petites valeurs propres satisfont des formules de type Eyring-Kramers. Cela généralise des résultats antérieurs obtenus par de nombreux auteurs dans le cas réversible, i.e. lorsque \(U\) est de la forme \(U=\nabla V\).

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  • Jeudi 06 février 2020 - Kévin Le Balc'h

    Contrôlabilité de systèmes de réaction-diffusion non linéaires

    On s’intéresse à la contrôlabilité de systèmes de réaction-diffusion non linéaires, issus par exemple de la cinétique chimique : étant donné un temps (possiblement très petit), on cherche à savoir s’il est possible " d’agir " localement dans le système de telle manière à atteindre un état d’équilibre chimique. On étudiera principalement deux systèmes : l'équation de la chaleur sémilinéaire pour des " faibles " nonlinéarités \( f(s) \approx |s| log^{\alpha}(1+|s|) \) et un système 2 x 2 de réaction-diffusion à couplage impair.

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Janvier 2020


  • Jeudi 23 janvier 2020 - Thibault Liard

    Impact of autonomous vehicles on vehicular traffic: study of a coupled PDE-ODE

    We study a strongly coupled PDE-ODE modeling an autonomous vehicle (AV) immersed in vehicular traffic. The PDE consists of a scalar conservation laws modeling the evolution of the traffic density and the trajectory of the AV, modeled by theODE, depends on the downstream traffic density. The AV also influences the bulk traffic flow via a point flux constraint, which is given by an inequality on the flux. We prove existence, uniqueness and continuous dependence of solutions for the coupled PDE-ODE with respect to initial data of bounded variation. Moreover, we consider an optimal control problem which consists in finding the optimal AV trajectory to minimize fuel consumption of the entire traffic flow. We prove existence of optimal AV trajectories and we present two different optimal driving strategies depending on the initial traffic conditions.

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  • Jeudi 09 janvier 2020 - Journée de l'équipe EDPAN

    Journée de l'équipe EDPAN

    10h30 - 11h15 : Franck Gillon, Recherche de position d'équilibre de deux particules dans un écoulement de Stokes

    Résumé : Nous nous inspirerons des travaux de Giovanni P. Galdi qui a réalisé la recherche de position d'équilibre pour 1 particule dans un écoulement de Navier-Stokes en 2D et des travaux de Laurent et Nicolae qui ont effectué la recherche pour le problème en 3D.

    Cette présentation aura pour but de trouver numériquement une position qu'on appellera "d’équilibre" de 2 particules sphériques dans l'écoulement d'un fluide de Stokes en 2D. Pour cela, nous utiliserons la linéarité de l'équation de Stokes afin de résoudre numériquement plusieurs situations dites élémentaires puis en déterminer l'influence sur le déplacement des particules jusqu'à atteindre une solution dite "stationnaire".


    11h15-12h00 : Arthur Bottois, Observabilité uniforme de l'équation des ondes 1D pour des domaines non cylindriques -- Application à l'optimisation du support de contrôle.

    Résumé : On se concentre ici sur la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 1D pour des domaines de contrôle distribués. En appliquant la méthode d'unicité de Hilbert, on constate que la contrôlabilité est équivalente à une inégalité d'observabilité pour l'équation adjointe. Cette inégalité d'observabilité est elle-même équivalente à une condition d'optique géométrique portant sur les caractéristiques de l'équation des ondes. Pour \(T>2\) et des domaines cylindriques \(\omega \times (0,T)\) de mesure donnée, on peut écrire une inégalité d'observabilité avec une constante indépendante de la position \(\omega\) du domaine. Une preuve se base sur une décomposition en séries de Fourier. Afin d'étendre cette inégalité d'observabilité uniforme à des domaines non cylindriques, on commence par définir des classes de domaines basées une nouvelle condition géométrique. Pour de telles classes, on démontre alors l'inégalité uniforme par une méthode de Galerkin. On applique ensuite ce résultat à l'optimisation du support de contrôle. On conclut par quelques illustrations numériques de ce problème.

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Octobre 2019


  • Jeudi 24 octobre 2019 - Mickaël Dos Santos

    Étude d’un supraconducteur hétérogène soumis à un champ magnétique

    L'exposé portera sur un travail récent concernant l’énergie de Ginzburg-Landau 2D avec champ magnétique et un terme de chevillage périodique rapidement oscillant et dilué. Le terme de chevillage modélise des petites impuretés dans un supraconducteur qui sont utilisées afin de "piéger" les défauts de vorticité (i.e. les zones où la supraconductivité est détruite). L’étude se place autour du premier champ critique (à vorticité bornée) et est menée à bien à l’aide d’un argument perturbatif permettant d’obtenir des informations pour des "quasi-minimiseurs" de l'énergie. Les résultats principaux consistent en une description des défauts de vorticité via leur quantification liée à l’intensité du champ appliqué et leur emplacement à travers différentes échelles sous-jacentes au problème.

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