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Séminaire et Groupe de travail
Théorie des Nombres


Organisateurs : Marusia REBOLLEDO
Les exposés ont lieu le mardi à 11h15 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Janvier 2019


  • Mardi 22 janvier 2019 - Francesco Amoroso

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Décembre 2018


  • Mardi 18 décembre 2018 - Fabien Pazuki

    à venir

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  • Vendredi 07 décembre 2018 - Journée Fédération

    à venir

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Novembre 2018


  • Mardi 20 novembre 2018 - Nicolas Billerey (UCA)

    A venir

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  • Mardi 06 novembre 2018 - Daniel Kohen (Essen)

    An unexpected trace relation of CM points

    Let \(E/Q\) be an elliptic curve of conductor \(p^2\) where \(p\) is an odd prime. Let \(O_f\) be the order of conductor \(f\) (prime to \(p\)) in an imaginary quadratic field \(K\) in which \(p\) is inert. Associated to these data there is a non-split Cartan curve and a CM point of conductor \(f\) on it. We can also consider a CM point of conductor \(pf\) on a split Cartan curve. These curves admit modular parametrizations to \(E\) and taking the images of the CM points we obtain points on E defined over \(H_f\) and \(H_{pf}\) respectively (the ring class fields of conductor \(f\) and \(pf\)). We prove that these points arising from different modular curves satisfy a trace compatibility that is non-trivial if and only if the local sign of \(E/Q\) at \(p\) is +1. We will also discuss some generalizations and applications.

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Octobre 2018


  • Mardi 16 octobre 2018 - Eric Gaudron (UCA)

    Estimations des pentes du fibré tangent d’une variété abélienne

    Dans cet exposé nous présenterons un encadrement des pentes d’Arakelov successives du fibré tangent d’une variété abélienne définie sur un corps de nombres, optimal en le degré de la polarisation \(L\) choisie sur la variété. Les bornes reposent sur un nouveau lemme de comparaison entre la norme du supremum et la norme hermitienne d’une section globale de \(L\) (lemme de Gromov), lui aussi optimal sous certains aspects.

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  • Mardi 09 octobre 2018 - Razvan Barbulescu (Paris 7)

    Une classification complète des familles de courbes elliptiques adaptées à l'algorithme ECM

    L'algorithme de factorisation par courbes elliptiques (ECM), inventé en 1985 par H. Lenstra Jr., joue un rôle important en cryptologie. Il est utilisé notamment comme brique de base dans l'algorithme crible algébrique (NFS), qui est utilisé pour choisir la taille des clés secrètes dans le système RSA. On dit qu'un entier est B-friable si tous ses facteurs premiers sont inférieurs à B. Bien que le temps de calcul soit majoré de façon uniforme sur les courbes elliptiques, il existe des familles de courbes qui réduisent le temps réel de calcul. Pour cela on choisit des familles de courbes elliptiques qui ont une bonne arithmétique ou une bonne friabilité. La qualité de l'arithmétique est le nombre d'opérations nécessaires pour la loi d'addition, choix que nous ne discutons pas ici à l'exception de la remarque que les familles utilisées possède de points de torsion. La qualité de friabilité d'une courbe elliptique E pour une borne B et une taille de premiers X est la proportion de premiers inférieurs à X où l'ordre de E(Fp) est B-friable. On possède à présent un nombre très faible de résultats prouvés sur la friabilité des ordres de courbes elliptiques. Parmi les énoncés heuristiques, l'augmentation de la moyenne de val_l(#E(Fp)) sur les p premiers aléatoires, pour un premier l fixé, détermine l'augmentation de la densité naturelle (au sens de Chebotarev) des premiers p pour lesquels #E(Fp) est B-friable, indépendamment de B. Grâce au théorème de densité de Chebotarev, il suffit de classifier toutes les familles de courbes elliptiques pour lesquelles l'image du groupe de Galois dans GL(2,Zl) n'est pas surjective. On reconnait le programme B de Mazur, sur lequel il existe des nombreux résultats récents. Un théorème de Lemos (2018) affirme que, pour les courbes elliptiques ayant une isogénie d'ordre inférieur à 10 l'ensemble des premiers l où le Frobenius n'est pas surjectif est inférieur où égal à 37. Sutherland et Zywina d'une part et Rouse et Zureick-Brown de l'autre ont obtenu des classifications complètes pour l=2 et respectivement pour l <= 37 quand -1 appartient au Frobenius. Leur calcul consiste à trouver la courbe modulaire de tout groupe possible et, pour les familles sporadiques, de trouver tous les points rationnels. Nous avons appliqué les techniques du deuxième article pour finir la classification des familles infinies quand l <= 37. Cette classification permet d'obtenir un résultat connexe : nous proposons une heuristique pour la friabilité du cardinal d'une courbe elliptique E à l'aide d'une fonction alpha(E) qui se calcule rapidement à l'aide de la classification.

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