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Séminaire et Groupe de travail
Théorie des Nombres


Organisateurs : Marusia REBOLLEDO
Les exposés ont lieu le mardi à 13h30 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Juin 2019


  • Mardi 04 juin 2019 - David Zureick-Brown

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Mai 2019


  • Mardi 21 mai 2019 - Marc Hindry

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Avril 2019


  • Mardi 02 avril 2019 - Huayi Chen

    Filtration de Harder-Narasimhan des fibrés adéliques non hermitiens

    La théorie de Harder-Narasimhan pour les fibrés vectoriels sur une courbe projective lisse admet un analogue arithmétique dans le cadre des fibrés adéliques hermitiens sur un corps de nombres, comme montré par les travaux de Stuhler, Grayson, Bost et Gaudron. Cependant, dans le cas de normes générales sur les places infinies, la méthode classique ne conduit pas à l’analogue exact du théorème de Harder-Narasimhan. Dans cet exposé j’expliquerai une raison conceptuelle de ce phénomène et une façon de remédier ce problème. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Atsushi Moriwaki.

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Mars 2019


  • Mardi 19 mars 2019 - Michalis Neururer

    Mahler measures of elliptic surfaces.

    Following François Brunault's talk, I will discuss our joint work on Mahler measures of modular elliptic surfaces, where we relate these 3-variable Mahler measures to L-values of modular forms at s=3. By Deninger's method, the Mahler measure can be identified as a Deligne period of the surface. Our approach is to use the modular paramtrisation of the surface to relate the period to period on a universal elliptic curve and then applying Brunault's higher dimensional generalisation of the Rogers-Zudilin method. This way we found several new identities between 3-variable Mahler measures and L-values, along with criteria on an elliptic surface that guarantee such relations.

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  • Mardi 19 mars 2019 - François Brunault

    Mesures de Mahler et unités modulaires

    La mesure de Mahler d'un polynôme P(x) est la moyenne géométrique du module de P sur le cercle unité. Cette définition se généralise de manière naturelle aux polynômes en plusieurs variables. Boyd a conjecturé que pour certaines familles de polynômes en 2 variables définissant des courbes elliptiques, la mesure de Mahler est reliée à la fonction L de la courbe elliptique. À l'heure actuelle, on ne sait démontrer ces relations que dans un nombre fini de cas particuliers. Dans cet exposé, j'expliquerai la méthode de Deninger qui permet de ramener les conjectures de Boyd à certains cas des conjectures de Beilinson. Pour certaines courbes elliptiques paramétrées par des unités modulaires, la méthode de Rogers-Zudilin permet de calculer efficacement le régulateur de Beilinson, ce qui démontre de nouveaux cas des conjectures de Boyd.

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  • Mardi 05 mars 2019 - Richard Griffon

    Courbes elliptiques à gros groupe de Tate-Shafarevich

    Le groupe de Tate-Shafarevich Sha(E) d’une courbes elliptique E est un objet mystérieux: on ne sait par exemple pas démontrer (en général) la conjecture affirmant qu'il est fini. Supposant la finitude de Sha(E), on peut s’intéresser à sa taille: des majorations de l’ordre |Sha(E)| sont connues en termes du conducteur et de la hauteur de E. Dans cet exposé, je parlerai d’un travail récent avec Guus de Wit, où nous construisons une famille explicite de courbes elliptiques sur F_q(t) dont les groupes de Tate-Shafarevich sont très gros. Dans les cas étudiés, Sha(E) est en effet essentiellement aussi gros que possible (au vu des majorations mentionnées ci-dessus). Notre résultat est complètement inconditionnel et fournit également des informations additionnelles quant à la structure de Sha(E). La preuve utilise divers outils dont le calcul des fonctions L, une étude détaillées de la distribution de leur zéros, et la preuve de la conjecture de B-SD pour ces courbes elliptiques.

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Février 2019


  • Mardi 19 février 2019 - Thierry Lambre

    Méthodes de géométrie différentielle en théorie algébrique des nombres

    Les notions de connexion et de courbure sont centrales en géométrie différentielle. Dans les années 80, A. Connes et M. Karoubi, les ont utilisées dans un cadre de géométrie non commutative pour construire des caractères de Chern de source la K-théorie algébrique ou topologique, de but diverses homologies (de Hochschild, cyclique, etc. ). Dans cet exposé, nous montrerons comment il est possible de construire une structure de groupes sur l'ensemble des connexions d'un anneau de Dedekind et comment on peut exploiter ce groupe des connexions en théorie algébrique des nombres (travail en collaboration avec J. Berrick, Yales-NUS).

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Janvier 2019


  • Mardi 22 janvier 2019 - Francesco Amoroso

    Minoration de la hauteur dans une extension galoisienne.

    Nous discuterons quelques questions liées à la minoration de la hauteur d'un nombre algébrique \(\alpha\) en fonction de la clôture galoisienne de \(Q(\alpha)/Q\).

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Décembre 2018


  • Mardi 18 décembre 2018 - Fabien Pazuki

    Régulateurs de courbes elliptiques.

    L'exposé sera concentré sur l'arithmétique des courbes elliptiques sur les corps de nombres. Nous donnons une inégalité entre le régulateur du groupe de Mordell-Weil et la hauteur de l'invariant j. Nous en déduisons des corollaires : propriété de Northcott pour le régulateur, informations sur l'asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée, estimées sur les fonctions L de courbes elliptiques via la conjecture de Birch and Swinnerton-Dyer. Il s'agit d'un travail en commun avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

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  • Vendredi 07 décembre 2018 - Journée Fédération

    3 invités

    Invités : Gaël Rémond, Samuel Le Fourn, Pierre Parent

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Novembre 2018


  • Mardi 20 novembre 2018 - Nicolas Billerey (UCA)

    Courbes modulaires et opérateurs de doubles classes

    Je présenterai une preuve élémentaire d'une conjecture de Merel publiée récemment par Chen et Salari Sharif.

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  • Mardi 06 novembre 2018 - Daniel Kohen (Essen)

    An unexpected trace relation of CM points

    Let \(E/Q\) be an elliptic curve of conductor \(p^2\) where \(p\) is an odd prime. Let \(O_f\) be the order of conductor \(f\) (prime to \(p\)) in an imaginary quadratic field \(K\) in which \(p\) is inert. Associated to these data there is a non-split Cartan curve and a CM point of conductor \(f\) on it. We can also consider a CM point of conductor \(pf\) on a split Cartan curve. These curves admit modular parametrizations to \(E\) and taking the images of the CM points we obtain points on E defined over \(H_f\) and \(H_{pf}\) respectively (the ring class fields of conductor \(f\) and \(pf\)). We prove that these points arising from different modular curves satisfy a trace compatibility that is non-trivial if and only if the local sign of \(E/Q\) at \(p\) is +1. We will also discuss some generalizations and applications.

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Octobre 2018


  • Mardi 16 octobre 2018 - Eric Gaudron (UCA)

    Estimations des pentes du fibré tangent d’une variété abélienne

    Dans cet exposé nous présenterons un encadrement des pentes d’Arakelov successives du fibré tangent d’une variété abélienne définie sur un corps de nombres, optimal en le degré de la polarisation \(L\) choisie sur la variété. Les bornes reposent sur un nouveau lemme de comparaison entre la norme du supremum et la norme hermitienne d’une section globale de \(L\) (lemme de Gromov), lui aussi optimal sous certains aspects.

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  • Mardi 09 octobre 2018 - Razvan Barbulescu (Paris 7)

    Une classification complète des familles de courbes elliptiques adaptées à l'algorithme ECM

    L'algorithme de factorisation par courbes elliptiques (ECM), inventé en 1985 par H. Lenstra Jr., joue un rôle important en cryptologie. Il est utilisé notamment comme brique de base dans l'algorithme crible algébrique (NFS), qui est utilisé pour choisir la taille des clés secrètes dans le système RSA. On dit qu'un entier est B-friable si tous ses facteurs premiers sont inférieurs à B. Bien que le temps de calcul soit majoré de façon uniforme sur les courbes elliptiques, il existe des familles de courbes qui réduisent le temps réel de calcul. Pour cela on choisit des familles de courbes elliptiques qui ont une bonne arithmétique ou une bonne friabilité. La qualité de l'arithmétique est le nombre d'opérations nécessaires pour la loi d'addition, choix que nous ne discutons pas ici à l'exception de la remarque que les familles utilisées possède de points de torsion. La qualité de friabilité d'une courbe elliptique E pour une borne B et une taille de premiers X est la proportion de premiers inférieurs à X où l'ordre de E(Fp) est B-friable. On possède à présent un nombre très faible de résultats prouvés sur la friabilité des ordres de courbes elliptiques. Parmi les énoncés heuristiques, l'augmentation de la moyenne de val_l(#E(Fp)) sur les p premiers aléatoires, pour un premier l fixé, détermine l'augmentation de la densité naturelle (au sens de Chebotarev) des premiers p pour lesquels #E(Fp) est B-friable, indépendamment de B. Grâce au théorème de densité de Chebotarev, il suffit de classifier toutes les familles de courbes elliptiques pour lesquelles l'image du groupe de Galois dans GL(2,Zl) n'est pas surjective. On reconnait le programme B de Mazur, sur lequel il existe des nombreux résultats récents. Un théorème de Lemos (2018) affirme que, pour les courbes elliptiques ayant une isogénie d'ordre inférieur à 10 l'ensemble des premiers l où le Frobenius n'est pas surjectif est inférieur où égal à 37. Sutherland et Zywina d'une part et Rouse et Zureick-Brown de l'autre ont obtenu des classifications complètes pour l=2 et respectivement pour l <= 37 quand -1 appartient au Frobenius. Leur calcul consiste à trouver la courbe modulaire de tout groupe possible et, pour les familles sporadiques, de trouver tous les points rationnels. Nous avons appliqué les techniques du deuxième article pour finir la classification des familles infinies quand l <= 37. Cette classification permet d'obtenir un résultat connexe : nous proposons une heuristique pour la friabilité du cardinal d'une courbe elliptique E à l'aide d'une fonction alpha(E) qui se calcule rapidement à l'aide de la classification.

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