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Séminaire et Groupe de travail
Théorie des Nombres


Organisateurs : Marusia REBOLLEDO
Les exposés ont lieu le mardi à 10h30 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Mai 2017


  • Mardi 09 mai 2017 - François Ballay

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Avril 2017


  • Mardi 11 avril 2017 - Gabor Wiese (Luxembourg)

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Mars 2017


  • Mardi 28 mars 2017 - Alain Kraus

    Le théorème de Fermat sur certains corps totalement réels

    Au cours de ces dernières années, de nombreux progrès ont été accomplis concernant l'équation de Fermat sur les corps de nombres. On dispose notamment d'un critère, dû à Freitas et Siksek, permettant d’établir le théorème de Fermat asymptotique sur certains corps de nombres totalement réels. Il en est ainsi pour une proportion importante de corps quadratiques réels. On s'intéresse dans cet exposé à l'étude de l'équation de Fermat sur des corps totalement réels, satisfaisant des conditions portant sur la ramification en \(2\) et un certain corps de rayon. Expérimentalement, on constate que les hypothèses faites permettent souvent d'établir le théorème de Fermat asymptotique effectif sur de tels corps. L'approche utilisée repose directement sur la méthode modulaire.

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  • Mardi 14 mars 2017 - Emmanuel Lecouturier

    Périodes \(p\)-adiques de courbes modulaires

    Soit \(p>3\) un nombre premier et \(X_0(p)\) la courbe modulaire classique de niveau \(\Gamma_0(p)\). Il existe une uniformisation \(p\)-adique de \(X_0(p)\) par un demi-plan \(p\)-adique, de manière analogue au cas complexe pour la surface de Riemann \(X_0(p)(\mathbf{C})\). À une telle uniformisation est associée une matrice de périodes \(p\)-adiques. Oesterlé a conjecturé et de Shalit a prouvé une formule remarquablement simple pour ces périodes modulo les unités principales, en termes de \(j\)-invariants supersinguliers. Nous prouvons une variante de cette conjecture pour les \(\lambda\)-invariants de courbes elliptiques de Legendre supersingulières, i.e. nous calculons les périodes \(p\)-adiques de la courbe modulaire \(X(\Gamma(2) \cap \Gamma_0(p))\) modulo les unités principales. Ce travail est joint avec Adel Betina.

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  • Mardi 07 mars 2017 - Nicolas Billerey

    Formes modulaires à multiplication complexe

    Il s'agit de la seconde partie (non traitée) de mon exposé du 7 février. En vue de l'atelier PARI/GP de juin au LMBP, je parlerai de formes modulaires à multiplication complexe. Dans le cas du caractère trivial, peut-on rapidement déterminer numériquement le nombre de classes de conjugaison galoisienne de formes CM de poids \(k\geq2\) et de niveau \(N\geq1\) ? Si oui, peut-on calculer efficacement leurs coefficients de Fourier ? Je présenterai des exemples numériques et des ébauches de code.

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Février 2017


  • Mardi 28 février 2017 - Pedro Lemos

    Serre's uniformity conjecture for elliptic curves with a rational isogeny

    Serre's uniformity conjecture asks if, given an elliptic curve \(E\) over the rationals without complex multiplication, its residual \(mod \ell\) representation is surjective for all primes \(\ell>37\). In this talk, I will show how an argument of Darmon and Merel -- which is, itself, based on Mazur's formal immersion technique -- can be adapted to prove the conjecture when \(E\) admits a non-trivial cyclic rational isogeny.

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  • Mardi 07 février 2017 - Nicolas Billerey

    Deux problèmes numériques en théorie des nombres

    Je présenterai deux problèmes dont je pense qu'ils pourraient faire l'objet d'une implémentation dans le logiciel de calculs pari/gp. Le premier concerne l'arithmétique des courbes elliptiques. Étant donné un corps de nombres \(K\) et une courbe elliptique \(E\) définie sur \(K\) sans multiplication complexe sur une clôture algébrique de \(K\), on s'intéresse à la détermination explicite de l'ensemble (fini) des nombres premiers \(p\) pour lesquels \(E\) admet une \(K\)-isogénie de degré \(p\). Le second problème traite des formes modulaires à multiplication complexe : au moins dans le cas du caractère trivial, peut-on déterminer rapidement le nombre de classes de conjugaison galoisienne de formes CM de poids \(k\geq 2\) et de niveau \(N\geq1\) ? Si oui, peut-on connaître rapidement leurs coefficients de Fourier ? Pour les deux problèmes, je présenterai des exemples numériques et des ébauches de code. Il y aura sans doute plus de questions que de réponses.

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Janvier 2017


  • Mardi 24 janvier 2017 - Ziyang Gao (Orsay)

    La conjecture de Mordell-Lang en famille.

    Nous proposons une conjecture dans cet exposé. Je vais expliquer pourquoi cette conjecture est une version de Mordell-Lang en famille et pourquoi cette conjecture est équivalente à une conjecture d'André-Pink. En suite, je vais expliquer la démonstration pour le cas de courbes.

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  • Mardi 03 janvier 2017 - Zhao Feng

    The exponential sum related to the Fourier coefficient of cusp form

    Let \(\lambda_f(n)\) be the \(n\)-Fourier coefficient of a holomorphic Hecke eigenform \(f\) of weight \(k\) for the full modular group \(\Gamma\), \(\Lambda(n)\) is the Mangoldt function. In this paper, we proved a result which improves the result of Zhao L.

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Décembre 2016


  • Mardi 06 décembre 2016 - Pierre Lezowski

    Formes linéaires de logarithmes simultanées, cas rationnel.

    En partant d'un exemple élémentaire d'équations de Pell simultanées, je m'intéresserai à la recherche de minorations de (plusieurs) formes linéaires de logarithmes, en particulier dans le cas rationnel, c'est-à-dire quand les coefficients des formes linéaires sont entiers. J'insisterai sur la spécificité de la preuve du résultat obtenu par rapport à la littérature déjà existante. Il s'agit d'un travail en cours, en commun avec Éric Gaudron.

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Novembre 2016


  • Mardi 22 novembre 2016 - Victoria Cantoral Farfan

    Torsion pour les variétés abéliennes de type III

    Le théorème de Mordell-Weil affirme que pour toute variété abélienne \(A\) définie sur un corps de nombres \(K\) le groupe des points \(K\)-rationnels est de type fini, \emph{i.e.} \(A(K)=A(K)_{tors}\times \Z^r\), où \(A(K)_{tors}\) correspond au sous-groupe fini des points de torsions définis sur \(K\). C'est naturel de se demander si on peut obtenir une borne uniforme pour \(|A(L)_{tors}|\), dépendant uniquement du degré \([L:K]\), lorsque la variété abélienne \(A\) varie. Cette question est connue comme la conjecture de la borne uniforme. En ce qui concerne les courbes elliptiques définies sur un corps de nombres \(K\), Merel a prouvé en 1994 que l'on peut en effet obtenir une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur et Kamienny. Cependant il est naturel de se demander si l'on peut obtenir une borne de \(|A(L)_{tors}|\) qui dépend uniquement du degré \([L:K]\) lorsque l'extension \(L/K\) varie et la variété abélienne \(A\) est fixée. Dans cette direction Marc Hindry et Nicolas Ratazzi ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes, en particulier leurs résultats fournissent une borne optimale. L'objectif de cet exposé, sera de vous présenter des nouveaux résultats dans cette direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz (\emph{i.e.} telle que son groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commute avec les endomorphismes et telle qu'elle vérifie la conjecture de Mumford-Tate). Après avoir détaillé le problème on présentera une esquisse de preuve.

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  • Vendredi 04 novembre 2016 - Rencontre Fédération à l'ENS Lyon

    organisée par N. Billerey.

    Il s'agit de la troisième rencontre de théorie des nombres de l'année, financée par la Fédération de Recherche en mathématiques Rhône-Alpes Auvergne. Organisée par Nicolas Billerey, elle aura cette fois lieu à l'ENS Lyon. Programme : - Laurent Berger : Systèmes dynamiques \(p\)-adiques. - Sara Checcoli : La conjecture de Mordell explicite pour certaines familles de courbes. - Sylvain Brochard : La conjecture de de Smit : un nouveau critère de platitude.

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Octobre 2016


  • Mardi 18 octobre 2016 - Florent Jouve (Bordeaux)

    Indépendance linéaire des zéros de fonctions L géométriques et biais de Chebyshev

    Etant donné un entier \(q\), une conjecture hautement spéculative (souvent appelée LI, pour Linear Independence) affirme que, lorsque chi parcourt les caractères de Dirichlet primitifs modulo \(q\), le multi-ensemble formé des parties imaginaires positives des zéros critiques de \(L(s,\chi)\) est libre sur \(\mathbb Q\). Dans cet exposé nous étudions un analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Précisément, si \(K=\mathbb F_q(C)\) est le corps de fonctions d’une courbe fixée \(C/\mathbb F_q\), on s’intéresse à certaines familles algébriques de courbes elliptiques \(E/K\) définies par Katz, et à la fonction \( L\) de Hasse-Weil \(L(E,s)\) associée à chacune de ces courbes. Nous montrons, en un sens quantitatif fort, que l’analogue de LI est vrai génériquement pour \(L(E,s)\) dans les familles choisies. On parlera également du rôle joué par LI dans l’étude de variantes géométriques du biais de Chebyshev. (Dans le cas classique, c’est le phénomène de prépondérance dans la plupart des intervalles \( [1,X]\), des premiers congrus à \(3\) modulo \(4\) par rapport aux premiers congrus à \(1\) modulo \(4\).) Il s’agit d’un travail commun avec Byungchul Cha et Daniel Fiorilli.

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Septembre 2016


  • Mardi 13 septembre 2016 - Ricardo Menares (Valparaiso)

    Sur le minimum essentiel de la hauteur de Faltings

    Travail en collaboration avec José Burgos Gil et Juan Rivera-Letelier. La hauteur de Faltings d'une courbe elliptique définie sur un corps de nombres, que l'on supposera semi-stable, est un nombre réel qui mesure sa complexité arithmétique. Le minimum essentiel est défini comme le plus petit nombre réel x tel que l'ensemble des courbes elliptiques dont la hauteur est majorée par x est infini. Nous déterminons un encadrement explicite du minimum essentiel qui permet de le calculer jusqu'à 5 chiffres après la virgule. En outre, nous montrons qu'il y a au moins deux valeurs isolées de la hauteur en dessous du minimum essentiel. Par comparaison, la hauteur naïve (ou de Weil) sur les espaces projectifs, la hauteur de Néron-Tate sur une variété abélienne et la hauteur canonique d'un système dynamique polarisé sont telles que leur minimum essentiel est égal à leur valeur minimum. Notre approche est basée sur l'interprétation de la hauteur de Faltings comme provenant du fibré sur la courbe modulaire de niveau 1 donné par les formes modulaires de poids 12, muni de la métrique de Petersson. A un niveau plus technique, pour faire des estimations, nous utilisons des variantes du théorème de distorsion de Koebe pour les fonctions univalentes.

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