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Séminaire et Groupe de travail PAS


Organisateurs : Erwan Saint-Loubert Bié et Christoph Kriegler
Les exposés ont lieu le mardi à 14h30 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Novembre 2017


  • Mardi 14 novembre 2017 - Christoph Kriegler

    Estimations indépendantes de la dimension pour l'opérateur maximal de Hardy-Littlewood à valeurs vectorielles

    En début des années 80, Stein et Strömberg ont démontré que l'opérateur maximal standard de Hardy-Littlewood \[ Mf(x) = \sup_{r > 0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)| dy, \quad (x \in \mathbb R^d) \] est borné sur \[L^p(\mathbb R^d), \: 1 < p \leq \infty\] avec une constante indépendante de la dimension \[d \in \mathbb N. \] D'un autre côté, Fefferman et Stein ont montré que l'extension canonique de M sur \[L^p(\mathbb R^d;\ell^q)\] est bornée avec une constante \[C_d\] pour \[1 < p,q < \infty.\] En utilisant des nouveaux multiplicateurs de Fourier maximaux, nous montrons que \[C_d\] peut lui aussi être choisi indépendant de la dimension d. Nous montrons aussi des variantes avec des treillis UMD à la place de \[\ell^q.\] Il s'agit d'un travail en commun avec Luc Deléaval (Université Paris-Est Marne-la-Vallée).

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Octobre 2017


  • Mardi 03 octobre 2017 - Stéphane Charpentier (Université Aix-Marseille)

    Ensembles hypercycliques

    Un op\'erateur lin\'eaire born\'e $T$ sur un espace de Banach ou de Fr\'echet $X$ est dit hypercyclique s'il existe un vecteur $x$ dans $X$ dont l'orbite \[\text{Orb}(x,T):=\left\{T^nx,\,n\geq 0\right\}\] sous l'action de $T$ est dense dans $X$. Deux r\'esultats classiques montrent que la d\'efinition d'op\'erateur hypercyclique peut en quelques sortes \^etre affaiblie: 1) Si une union finie \[\bigcup_{i=1}^l\text{Orb}(x_i,T)\] d'orbites est dense dans $X$, alors l'une de ces orbites est dense dans $X$ [Costakis/Peris, 2000/2001, independently]; 2) Si l'ensemble $$\text{Orb}(\mathbb{T}x,T):=\left\{\lambda T^nx,\,n\geq 0,\,|\lambda |=1\right\}$$ est dense dense $X$, alors \[\text{Orb}(x,T)\] l'est aussi aussi [L\'eon-M\"uller, 2004]. Dans cet expos\'e, nous nous int\'eresserons \`a une extension de ces r\'esultats en abordant la question g\'en\'erale suivante: quels sont les ensembles dont la densit\'e de l'orbite sous l'action d'un op\'erateur $T$ implique automatiquement l'hypercyclicit\'e de $T$? Il s'agit d'un travail en commun avec R. Ernst, dans la continuit\'e d'un travail pr\'ec\'edent avec R. Ernst et Q. Menet.

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Septembre 2017


  • Mardi 12 septembre 2017 - Julien AH-PINE, Université de Lyon II

    Une approche de la classification ascendante hiérarchique basée sur les fonctions noyau et les matrices de similarités creuses

    La formule de récurrence de Lance et Williams (LW) permet d’unifier plusieurs méthodes de classification ascendante hiérarchique (CAH). Dans cet exposé, nous supposons que les données sont représentées dans un espace de Hilbert et nous établissons une nouvelle expression de cette formule en utilisant les produits scalaires au lieu des distances euclidiennes au carré. Notre approche présente de nombreux avantages. Il s'agit en fait d'un nouveau cadre permettant de généraliser la formule de LW à plusieurs égards. Notre modèle permet en effet d’étendre naturellement les méthodes de CAH aux fonctions noyau (RKHS), et d’appliquer des méthodes d’écrêtage à la matrice de Gram afin d’améliorer le passage à l'échelle. Par ailleurs, nous étudions plusieurs propriétés de ce nouveau formalisme et nous donnons en particulier des conditions suffisantes pour la monotonicité des méthodes et nous précisons celles qui sont invariantes par translation de la diagonale de la matrice de similarités. Cette dernière propriété permet de mettre en avant les méthodes de CAH particulièrement robuste dans le cadre de notre approche. Nous illustrons ces différentes propriétés sur des jeux de données simulées et réelles.

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